DISTINCIÓN ENTRE FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS EN KANT
“La razón humana tiene,
en una especie de sus conocimientos, el destino particular de verse acosada por
cuestiones que no puede apartar, pues le son propuestas por la razón misma,
pero a las que tampoco puede contestar, porque superan las facultades de la
razón humana”
Inmanuel Kant
I.
Análisis propedéutico respecto al conocimiento
filosófico y al conocimiento matemático.
Kant entiende por filosofía
un tipo de conocimiento racional que por medio de principios y conceptos
establece los límites de la razón, tanto en su uso especulativo o teórico como
en su uso práctico y busca determinar las condiciones de posibilidad a priori
de los objetos y de la experiencia posible. La filosofía como crítica pretende:
controlar el deseo humano de trascender la experiencia, realizar un riguroso
examen de las capacidades de la razón, establecer un tribunal de la razón pura
para juzgarase ella misma, cuestionar a la metafísica dogmática puesto que ésta
sobrepasa los límites circunscritos por la experiencia, superar el dogmatismo y
el escepticismo[1].
Se evidencia que para
Kant la filosofía cumple una función crítica en cuanto establece que sólo es
posible y deseable conocer lo dado, si antes se hace un examen crítico de los
fundamentos del conocimiento y de las
creencias últimas. Pero la filosofía no sólo es conocimiento crítico, sino
también trascendental, pues estudia las condiciones que hacen posible el conocimiento
a priori de las cosas; verbigracia: la intuición pura a priori del espacio, es
condición de posibilidad del conocimiento de la geometría y la intuición pura
del tiempo es condición de posibilidad del conocimiento de la aritmética.
Como sistema de conocimientos
a priori la filosofía trascendental es considerada meta-teoría, en tal sentido
la filosofía no versa sobre objetos directamente sino sobre los conceptos que
tenemos de los objetos; dicho en otros términos, el racionamiento filosófico
trascendental no brinda un saber de la realidad como la intuimos, sino que
ofrece un conocimiento de la realidad en cuanto es pensada a través de
conceptos. El conocimiento trascendental se refiere sólo al conocimiento a priori y por ello no
tiene origen en la experiencia posible, no obstante puede ser referido a
objetos de la experiencia; a propósito dice el filosofo oriundo de Konigsberg “llamo
trascendental a todo conocimiento que se ocupa no tanto de los objetos, como
del modo de conocerlos en cuanto este modo es posible a priori. El sistema de
tales objetos puede ser llamado filosofía trascendental” (KrV B 25).
Para Kant la matemática
es un conocimiento que opera por construcción de conceptos, según ello la
matemática es intuicionista o constructivista; pues todo concepto matemático se
debe construir recurriendo a una intuición a priori. Este tipo de ciencia es
comprendida como teoría de las magnitudes, aunque también estudie las
cualidades de los conceptos matemáticos. En cuanto a teoría de las magnitudes
la matemática mide los objetos, es decir les asigna valores numéricos a éstos.
Kant piensa que la matemática se aplica exactamente a la experiencia, dada su
carácter sintético a priori y dado que los fenómenos son magnitudes extensivas
e intensivas (más adelante se clarificará esta premisa). La matemática no
pregunta sobre el quantum, es decir sobre aquello que es susceptible de ser
medido; sino que trata sobre el quantitas o lo que es igual, el resultado de la
medición. La geometría, la aritmética y el álgebra son reconocidas como
disciplinas matemáticas en el sistema Kantiano. La geometría, en este caso la euclidiana, investiga las magnitudes
extensivas y se basa en axiomas, esto es, en juicios a priori que no necesitan
demostración porque recurren directamente a una intuición; la aritmética es la
ciencia del número y también se basa en axiomas; por su parte el álgebra se
refiere a construcciones simbólicas, y recurre a la aritmética para su
fundamentación.
II.
Tipo de objeto y método de la filosofía y de la matemática.
Con relación al objeto de la filosofía, en la
segunda gran división de la crítica de la razón pura “ la doctrina
trascendental de los elementos” en su segundo capítulo “canon de la razón
pura”; Kant resume en tres los problemas que la filosofía debe responder, a
saber: qué se puede saber, qué se debe hacer y
qué es permitido esperar; dicho en sus palabras “todo interés de mi razón (lo mismo especulativo, que práctico) está
contenido en estas tres preguntas: primera ¿qué debo yo saber? Segunda ¿qué
debo yo hacer? y tercera ¿qué me está permito esperar?[2] .
El objeto de la filosofía según el primer
interrogante es epistemológico; estudia la razón pura, sus límites e indaga
acerca del conocimiento científico, es así como investiga las condiciones de
posibilidad de la ciencia matemática (geometría y aritmética) y de la ciencia
física (filosofía natural), así mismo examina
la posibilidad de la metafísica como ciencia. El objeto según el segundo
cuestionamiento resulta ser de tipo ético pues investiga la moralidad, y según
el tercer problema el objeto es de tipo deontológico ya que trata acerca de la
felicidad en cuanto se debe hacerse digno de merecerla cumpliendo el deber. El
primero recordemos es un objeto teórico, el segundo es práctico y el tercero es
al mismo tiempo teórico y práctico, en cuanto éste funciona como hilo conductor
a la solución de lo teórico.
Si la filosofía tal como
se mencionó es un conocimiento racional a priori de conceptos y por ende no trata
sobre cosas sino sobre representaciones abstractas que hacemos de ellas, será
claro que el método no podrá ser el experimental, sino que deberá ser de tipo
discursivo; es así como la argumentación se convierte en el camino correcto que
debe seguir la filosofía para realizar sus investigaciones y disertaciones. Del
mismo modo las pruebas trascendentales son usadas en el sistema kantiano como
método para validar el conocimiento filosófico. Este método es analítico o
regresivo porque comienza estudiando lo dado y retrocede hasta las condiciones
que lo hacen posible. Sea el ejemplo:
P1: Las leyes morales pertenecen a un mundo
inteligible y deben cumplirse
P2: Dios y la vida futura existen como
posibilidad de tal mundo, si no existiera Dios o si no existiera la vida
futura, el mundo inteligible y los principios morales serían químeras
Ergo: Es necesario que Dios y la vida futura
existan necesariamente como condición de posibilidad de las leyes morales.
Aquí se partió de algo dado, la ley moral y se
retrocedió hasta la condición de posibilidad, la existencia de Dios y la vida
futura. Este argumento se utilizó para validar una proposición nacida de la
razón pura en su uso práctico; del mismo modo estos argumentos se utilizan para
validar proposiciones nacidas de la razón en su uso teórico. Sea el ejemplo:
para validar la proposición según la cual las matemáticas pueden ser aplicadas
de manera exacta en la experiencia, Kant recurre al siguiente argumento
trascendental:
P1: La matemática pura se puede aplicar con
precisión a los objetos de la experiencia
P2: La condición de posibilidad, de la aplicación
de la matemática es que los fenómenos sean magnitudes extensivas e intensivas;
si los fenómenos no fueran magnitudes extensivas ni intensivas, no sería
posible la representación del todo a partir de las partes; ni sería posible que
lo múltiple se reuniera en una intuición sensible a priori (espacio y tiempo)
bajo las cuales se puede realizar el esquema de un concepto puro del fenómeno
exterior.
Ergo: Es necesario que todos los fenómenos sean
magnitudes extensivas e intensivas, para lograr aplicar la matemática con
precisión.
Nótese que en ambos argumentos trascendentales la
vía es analítica o regresiva, pues se parte de una afirmación verdadera, se
muestra una condición de posibilidad de la cosa que se afirma y se establece
que de no darse esa condición de posibilidad, la proposición no sería ni falsa
ni verdadera, se concluye por ende la necesidad de la condición de posibilidad.
El profesor Juan Manuel Jaramillo resume la estructura básica de los argumentos
trascendentales como sigue: “1 se afirma algo (A) como verdadero 2 se
demuestra que, de no darse la condición de posibilidad (C), (A) no sería
posible (en la interpretación Fregeana de presuposición se diría “si no se diera
la condición (C), (A) no sería ni verdadera ni falsa, i.e.,”(A) carecería de
sentido) 3 se concluye la necesidad de la condición de posibilidad (C)”[3]
Los argumentos trascendentales deben dar origen a
proposiciones universales y necesarias sobre la forma, el funcionamiento y “los
límites de la razón Humana”.
Siguiendo a Alberto Campus recordemos que la
Filosofía matemática de Kant precede a “las geometrías no Euclidianas, a la
algebraización de la lógica, a la aritmetización del análisis y en general
a la reconstrucción de la axiomática de
la matemática”, según ello en el tiempo de Kant solo se contaba con la
geometría Euclidiana, la aritmética básica, un álgebra incipiente y el cálculo
de Newton; a partir de estas disciplinas es que él elaboró su filosofía de
la matemática.
En el siglo XX imperaron
tres tendencias: el intuicionismo (Brouwer, Heyting); el logicismo (Frege,
Russell, Whitehead) y el formalismo (Hilbert, Bourbaki); los primeros piensan
que los objetos matemáticos se pueden construir mentalmente desde intuiciones,
ésta es la postura defendida por Kant; los segundos intentan reducir la
matemática a la lógica; los terceros defienden la formalización completa de la
matemática. Para los intuicionistas, postura que nos interesa analizar aquí, la
matemática opera por construcción de conceptos, es decir, para construir un
concepto es necesario asignarle la intuición pura a priori que le corresponde,
si el concepto es geométrico le corresponde la intuición pura a priori del
espacio, si el concepto es aritmético le corresponde la intuición pura a priori
del tiempo.
Si conocer es juzgar a
partir de conceptos, en el caso de las matemáticas, tal conocimiento se valida
por medio de las demostraciones; primero se formula un teorema; segundo se
realiza una exposición del teorema, verbigracia en el caso de la geometría se
muestra la figura; tercero se construye el concepto y por último se elabora el
proceso lógico de la demostración, en otras palabras se vinculan los resultados
con los respectivos axiomas, siguiendo un racionamiento lógico. Siendo así para
resolver un problema matemático se debe recurrir tanto a la intuición como a la
lógica; para realizar un demostración señala Campus interpretando a Kant “es
requerido el esfuerzo de la imaginación, pero todo lo que se haya intuido tiene
que ser corroborado mediante el control que suministra la lógica; solo la
lógica puede garantizar una solución, el trabajo del matemático necesita uno y
otro componente, imaginativo y lógico”[4]
Inmanuel Kant no enfrentó la tradición matemática
con relación al objeto, de manera que continuó considerando que la matemática
era la ciencia del número y de la magnitud o del espacio y del tiempo. Agregó
Kant que la matemática tenía por objeto también la cualidad, verbigracia “las
matemáticas se ocupaban también de la diferencia entre línea y superficie en
cuanto espacios de distinta cualidad, así como la continuidad de la extensión
en cuanto cualidad de esta”[5]
Nos hemos aproximado grosso modo al método, objeto
y connotación de la filosofía y de la matemática. A continuación se presenta la
distinción entre filosofía y matemática que resulta siendo el objetivo central
de este ensayo.
III.
Distinción
entre el quehacer filosófico y el quehacer matemático.
“Kant se fió demasiado en el hecho histórico de
que hasta entonces sólo la geometría euclidiana había sido reconocida, no hizo
una crítica de la axiomatización tipo Euclides, sino que la aceptó como si no
hubieran imperfecciones axiomáticas”[6]
la aritmética también la consideró como un conocimiento sólido que podía
ampliarse incluso sin ayuda de la experiencia. Kant se preguntó si el método matemático por medio del cual se
lograba dar certeza apodíctica a las proposiciones, podría ser adoptado por la
filosofía; respondió esta pregunta negativamente. En las páginas siguientes se
justificará tal respuesta, mostrando que existe una marcada diferencia entre la
filosofía y la matemática.
“El conocimiento filosófico es un conocimiento
racional derivado de conceptos”. Los conceptos no se refieren inmediatamente a
los objetos; sino a sus representaciones, sean éstas otro concepto o una
intuición; el concepto es pues mediato. Otra característica es que el concepto
no es singular sino general. La filosofía para Kant es discursiva y cumple la
función de analizar conceptos.
El conocimiento matemático es un “conocimiento
obtenido por construcción de conceptos” y recordemos que para construir un
concepto se debe presentar la intuición a priori que le corresponde a dicho. Ésta
es a su vez entendida por Kant como una representación inmediata y singular del
objeto, un ejemplo de las intuiciones puras a priori son el espacio y el
tiempo.
Tanto la filosofía como la matemática poseen un
objeto similar con relación a la magnitud y la cualidad, más se diferencian en
la forma de proceder con relación a estos objetos; la filosofía analiza la
cualidad y la magnitud a partir de conceptos y la matemática construye el
concepto a partir de intuiciones. Kant muestra que la filosofía trata de
magnitudes como la totalidad, la infinitud etc, además trata sobre la cualidad
una vez expone los conceptos; por su lado la matemática se refiere a la
cualidad cuando establece semejanzas y diferencias, por ejemplo entre línea y
superficie. Es claro que la filosofía y la matemática no se diferencian por sus
objetos de estudio según cualidad y magnitud, pero si son dispares según
su forma de usar la razón; la filosofía trabaja solo sobre conceptos universales y la
matemática trabaja en base a conceptos remitiéndolos a las intuiciones.
Verbigracia: El filosofo no podría demostrar que
la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados, pues sólo le
es permitido trabajar en base a conceptos; en consecuencia luego de analizar el
concepto de triángulo, el filósofo podría clarificar el concepto de polígono,
de ángulo, de línea o de punto, pero otra cosa no le estaría permitido inferir.
Si al matemático se le pide que demuestre que la
suma de los ángulos internos de un triángulo equivale a 180 grados, éste
valiéndose de la construcción del concepto podría sin dificultades hacer la
demostración.
Como hemos visto el filósofo utiliza conceptos y
el otro artífice de la razón, el matemático, utiliza intuiciones “que
representa a priori conforme a conceptos”. En el caso del triángulo el filósofo
que trabaja con proposiciones analíticas (descomposición de conceptos) tendría
ventajas sobre el matemático, si lo buscado fuese reflexionar, analizar y
clarificar el concepto de aquel polígono de tres lados, mas no podría demostrar
que la suma de los ángulos internos de éste suman 180°; por su parte el
matemático que trabaja a partir de proposiciones sintéticas a priori, sería el
único que podría realizar tal demostración; en efecto el matemático puede
salirse del concepto. “Además, los juicios de la matemática pueden
ser considerados como sintéticos por la misma manera de trabajar del matemático
y en general del científico, con el solo
concepto de triángulo no se puede ir más allá del triángulo. Hay que poner
relaciones entre elementos del triángulo, o entre el triángulo y otros
triángulos u otras figuras. Con un concepto, sin salir de él, no se pude hacer
geometría del triángulo”[7],
por supuesto que con un concepto sin salirse de él sí se podría hacer filosofía
de dicho objeto.
El filósofo sólo puede pensar discursivamente
sobre el triángulo y a partir de los
conceptos alcanzaría la síntesis trascendental, es decir lograría comprender
cuáles son las condiciones bajo las cuales éste polígono podría ser percibido y
podría pertenecer a la experiencia
posible, aun siendo un concepto general. El matemático por su parte, no estudia
ni las condiciones de posibilidad, ni la
existencia de ésta figura geométrica, sino solamente sus propiedades, obviamente en cuanto
características del concepto o del objeto estudiado. Con lo anterior se ha
querido mostrar la diferencia sustancial entre la filosofía y la matemática, la
primera usa la razón discursivamente por conceptos y la segunda usa la razón
intuitivamente por construcción de conceptos.
A la filosofía como conocimiento racional que opera en base a conceptos, le compete considerar si una cosa
existe en el espacio y en el tiempo; o si es un quantum (magnitud extensiva
pura); también le es propio establecer la relación de una cosa con otras, según
la ley de causa y efecto o de acción reciproca; y de igual manera le
corresponde a la filosofía determinar la posibilidad, realidad y necesidad de
las cosas. Éste es pues un tipo de conocimiento trascendental en cuanto busca
establecer las condiciones de posibilidad de la experiencia posible.
A la matemática como conocimiento obtenido por
construcción de conceptos, le compete determinar los conceptos según la
intuición pura a priori que le corresponde a cada objeto, es decir sigue la
ruta del concepto a la intuición, para examinarlo en concreto y para “conocer a
priori o a posteriori lo que conviene al objeto mismo”
Verbigracia: Prescribir una intuición a priori en
el espacio implica proponer una figura, determinar una intuición a priori en el tiempo implica proponer una duración,
si se prefiere conocer el elemento
universal de síntesis de algo que se halla en el espacio y en el tiempo, como
su medida, se recurre al número; esto
pues es tarea de la matemática.
Presentadas las diferencias entre estas dos
formas de conocimiento se deduce que es improbable que la filosofía imite el
método de la matemática. A propósito
kant dice “la geometría y la filosofía son
dos cosas completamente distintas, por más que se den la mano en la ciencia de la naturaleza; que
consiguientemente, el procedimiento de una nunca puede ser imitado por la otra”
(Kant KrV B 754)
Otras de las diferencias importantes que
encontramos entre estas dos formas de conocimiento es que la matemática basa su
solidez en sus definiciones, axiomas y demostraciones y la filosófica basa su
confiabilidad en las exposiciones metafísicas que cumplen el fin de exponer y
clarificar conceptos y en las exposiciones trascendentales. Tal como aclara
Allison “una exposición trascendental es designada para mostrar que un cuerpo
dado de conocimientos sintéticos a priori (P) solo es posible si hay una
representación (Q). Con ciertas propiedades especificas, por lo tanto (Q) es
condición necesaria para (P)”[8]
Definir significa “ofrecer de modo originario el
concepto detallado de una cosa dentro de sus límites” (B 754), sólo a
las matemáticas les es posible definir, ora porque se refiere a conceptos que
son producidos arbitrariamente a los cuáles se les puede señalar con claridad
los límites establecidos, ora porque logra determinarlos dándoles el sentido
que se desea significar cuando se evoca tal concepto.
Los conceptos empíricos y a priori no son
susceptibles de definiciones, pero sí de exposición o explicación; la
matemática no trata ni de conceptos empíricos ni de conceptos a priori, esto es
tarea de la filosofía, la matemática investiga conceptos matemáticos, los
cuales sí son aptos para la definición.
Los axiomas son “principios sintéticos a priori,
en cuanto son inmediatamente ciertos” (B 760) estos principios no
necesitan ser comprobados, pues son evidentes por sí mimos, ni tampoco
necesitan ser mediados por deducciones, ya que son intuidos y por ende
inmediatos. La filosofía no puede proceder por medio de axiomas, sino por medio
de principios mediatos, los cuales necesitan siempre de una justificación o prueba
a partir de una sólida deducción.
Una demostración es una “prueba apodíctica sólo en la
medida en que sea intuitiva” (B 762). La matemática es la única que
puede utilizar demostraciones, porque parte de las intuiciones que se dan a priori en correlación con los
conceptos a los cuales se refiere. La matemática procede por construcción de
conceptos, considera lo universal en lo concreto (intuición singular). La filosofía utiliza para
justificar sus proposiciones pruebas acromáticas, o lo que equivale a decir lo
mismo, utiliza pruebas discursivas y como es un conocimiento racional a partir
de conceptos está obligada a considerar lo universal en lo abstracto (el
concepto es general).
Como ya se ha dicho específicamente las pruebas
que utiliza la filosofía son los argumentos trascendentales que recurriendo a
Cabrera pueden ser definidas como “un argumento que busca concluir las
condiciones trascendentales, es decir, condiciones a priori de la posibilidad
de cierto tipo de experiencia, de conocimiento y de lenguaje”[9]
Sinopsis
En síntesis podemos resumir las diferencias entre
la filosofía y la matemática en tres. Primero: la filosofía pretende señalar
los límites de la razón; determinar la naturaleza de “las condiciones
epistémicas” del conocimiento humano; criticar el dogmatismo y el escepticismo;
rechazar la metafísica dogmática y mostrarle el camino adecuado; esto es,
responder a las preguntas ¿Qué puede yo saber? ¿Qué debo yo hacer? y ¿Qué me
está permitido esperar? La matemática pretende dar cuenta sobre las propiedades
de los conceptos matemáticos y se refiere a la cantidad y cualidad de los
mismos.
Segundo: el discurso filosófico es diferente del
discurso científico en cuanto a que puede ser considerado meta-teórico; su
método es analítico o regresivo. La filosofía procede por medio de exposiciones
metafísicas y exposiciones trascendentales para analizar conceptos y mostrar su
aplicabilidad respectivamente; utiliza pruebas acromáticas (discursivas)
también conocidas como argumentos trascendentales según las bautizó Strawson.
El discurso matemático es de naturaleza científica y teórica, investiga
conceptos matemáticos; su método es sintético o regresivo; procede por medio de
definiciones y axiomas para construir sus conceptos, y los valida por medio de
demostraciones.
Tercero: de hecho ésta es a nuestro juicio la
distinción más importante de todas, la filosofía es un conocimiento racional
por conceptos, es decir discursivo; mientras que la matemática es un
conocimiento intuitivo a partir de construcción de conceptos.
Pese a las diferencias sustanciales entre
filosofía y matemática ambas son justificadas como conocimientos universales y
necesarios y tanto una como otra son relevantes para el avance del conocimiento
del mundo. De las matemáticas dice Kant “yo sostengo que en toda teoría particular
de la naturaleza solo puede haber tanta ciencia propiamente dicha como
matemática se encuentre en ella”[10]
y con relación a la filosofía indica nuestro filósofo “la indiferencia, la duda y por
último una reserva crítica son más bien muestras de un pensamiento profundo. Y
nuestra época es la propia de la crítica, a la cual todo ha de someterse. En
vano se pretende escapar de ella la religión por su santidad y la legislación
por su majestad, que existirán entonces motivados y no podrán exigir el sincero
respeto que sólo concede la razón a lo que puede afrontar su público y libre
examen”.
BIBLIOGRAFÍA
Kant, Inmanuel. Critica de la Razón Pura. Porrua.
México. 1991.
Juan Manuel, Jaramillo
Uribe. Discusiones Filosóficas. Año 5 # 8. Enero-Diciembre, 2004.
Juan Manuel, Jaramillo
Uribe. La reconstrucción teórico- conjuntista de las teorías Empíricas. Una
posible alternativa a la axiomatización formal. Ideas y Valores. IV Coloquio
Internacional de filosofía e historia de la matemática. Revista Ideas y
Valores. Bogota. Agosto de 1993.
Alberto, Campus. IV
Coloquio Internacional de filosofía e historia de la matemática. Revista Ideas
y Valores. Bogota. Agosto de 1993.
Henry, Allison. El
idealismo trascendental de Kant: una interpretación y defensa. Antropos.
España.1992.
Eusebí, Colomer. El pensamiento Alemán desde Kant
a Heidegger. Herder. Barcelona.1986.
Ferrater, Mora. Diccionario de Filosofía. Ariel.
s. a. Barcelona.1994.
[1] El primero por confiar
ciegamente en la posibilidad de conocer
y el segundo por dudar del conocimiento. Aunque ambas corrientes
epistemológicas son estériles una cualidad positiva que se
le debe resaltar al escéptico, es la de conducir al dogmático hasta el terreno
de la crítica.
[3] Juan Manuel, Jaramillo
Uribe. Discusiones Filosóficas. Año 5 # 8. Enero-Diciembre, 2004. Pag 56.
[4] Alberto, Campus. IV
Coloquio Internacional de filosofía e historia de la matemática. Revista Ideas
y Valores. Bogota. Agosto de 1993. pag 19.
[6] Ibid.
[7] Ibid, pag
[8] Henry, Allison. El idealismo trascendental de Kant: una
interpretación y defensa. Antropos. España.1992. pag 167.
[9] Juan Manuel, Jaramillo Uribe. Discusiones Filosóficas. Año 5 # 8.
Enero-Diciembre, 2004. Pag 55.
[10] Juan Manuel Jaramillo
Uribe. La reconstrucción teórico- conjuntista de las teorías Empíricas. Una
posible alternativa a la axiomatización formal. Ideas y Valores. IV Coloquio
Internacional de filosofía e historia de la matemática. Revista Ideas y
Valores. Bogota. Agosto de 1993.
